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数学思维今何在?经济日报采访专业研究者和数学爱好者求解
2019-09-16
经济日报

  密码学家王晓云日前获得了2019年未来科学大奖数学与计算机科学奖。她提出密码哈希函数的碰撞攻击理论,推动帮助新一代密码哈希函数标准的设计,已在金融、交通等重要领域广泛使用,并对支撑网络信息安全方面作出重要贡献。

  数学作为自然科学的基础,其实力往往影响着国家实力。几乎所有重大发现都与数学的发展相关,它是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

  日前,科技部、教育部、中科院、自然科学基金委联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》,强调了数学研究的重要性。

  数学是自然科学的基础,也是重大技术创新发展的基础,并成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。那么,数学的本质是什么?经济日报记者采访了专业数学研究者和数学爱好者,试图求解。

  如何理解数学思维

  中国科学院数学与系统科学研究院副研究员周川认为,数学的本质在于数学思维。“数学思维是指在思考和解决问题过程中对数学思想、方法的合理运用能力。数学思维不是一种知识,而是一种能力。数学思维是搭建数学世界最重要的根基,不管是纯粹的数学学习与数学研究,还是把数学工具应用到其他领域,数学思维都发挥着重要作用。”周川说。

  具体来讲,数学思维包括逻辑思维、形象思维、空间抽象思维等。它如同数学这棵参天大树的庞大根系,虽然从外表上看不见,却为数学提供着重要的营养源泉。“我们常说数学是优美的,这种美就主要体现在它的思维之美。”周川说。

  数学思维之美,在于实用和理性的平衡之美。数学爱好者张建对记者举例说,以数学分支之一的统计学为例,在解决现实问题过程中,统计学给人以简洁明快的美感。大数定律、中心极限定律、贝叶斯概率等基本统计规律,呈现出概念世界和知觉世界一致之后的和谐。其背后的一系列定理,对于理性和经验、理论和实践、演绎和归纳、公理体系和算法程序的均衡统一,具有举足轻重的作用。“资料显示,有些精密科学可以依靠明确的定义和逻辑有所发展,有些问题要靠近似的测量解决,需要误差理论、概率论、数理统计等统计学智慧实现。”张建说。

  数学思维之美,在于凌驾于其他学科之上的“霸王”之美。资料显示,现代科学的基础是2500年前希腊的《几何原本》。但凡称得上科学的学科一定具备两个特点:一是具备像《几何原本》那样的公理系统;二是可以用实验验证假设。物理学是建立在数学之上的,化学又是建立在物理学之上的,生物学又是建立在物理和化学之上的。归根结底,所有现代科学的基础都是数学。“例如,就人工智能领域而言,基于神经网络的机器学习的全部数学基础就是偏微分方程和线性代数,人工智能其他流派则涉及概率论和随机过程。今日的人工智能,很难离开大数据及其相关统计变量的加持。要想在该领域有所建树,扎实而高级的数学素养不可或缺。”张建说。

  周川认为,数学之美在于其定义的深刻,逻辑的明晰,结果的简洁。比如,著名的哥德巴赫猜想“任何一个大于4的偶数都可以写成两个素数之和”,简洁却不失深刻,十分美妙。英国大数学家哈代曾经说过,“美是好数学的试金石,丑陋的数学不可能永存”。哈代的这种想法与他崇尚数学的艺术性有关,但也在一定程度上反映出数学家对数学理论的美学追求。

  如何拥有数学思维

  数学思维如此重要,怎样才能获得?做题是首要途径。

  周川对记者表示,做题的目的是为了检验对知识的掌握情况、强化对知识的认知理解、开拓思维。任何科学研究,都是一个不断试错的过程,数学研究也不例外。“面临一个数学问题时,通常会大胆假设,发散思维,尝试多种不同思路,小心推演证明,看看哪条思路可行且漂亮。”周川说,“做题可以帮助数学工作者加深知识理解、开拓创新思维、刺激新颖想法,这些对于科研工作大有裨益。”

  周川认为,数学研究不会一帆风顺,对于真正的难题,通常容易想到的思路与方法往往并不奏效,这就需要在数学研究中保持足够的勇气与毅力,遇到困难要有“逢山开路、遇水搭桥”的魄力,努力前行直至目的地,虽然这个过程可能会很漫长。

  此外,多阅读数学名著也很重要。数学研究者王晓晨对记者表示,他书桌上常年放有华罗庚的《高等数学引论》、莫里斯·克莱因的《古今数学思想》《普林斯顿数学指南》等经典著作。“这些书籍里面的奇思妙想,时常给人以灵感,让我们这些专业数学研究人员一现灵光,获取难能可贵的创新性想法。”

  在王晓晨眼中,数学名著大多言简意赅,一针见血,不论对于专业研究者还是其他领域的工作人员,都会产生启迪。譬如,在《普林斯顿数学指南》第三卷中,有这样的话语:“好奇心是做数学工作的驱动力。一个特殊的结果何时才是真的?这是否是最佳的证明,或者还有更自然或更漂亮的证明?……如果总在问自己这样的问题,迟早会出现解答的闪光——发现研究的可能性道路。”“把数学看成是各个分离的分支集合,这个想法是有诱惑力的,这些分支有几何、代数、分析、数论等。几何主要是企图了解‘空间’的概念,代数则是了解操弄符号的艺术,分析是去接触‘无限’和‘连续统’,如此等等。”王晓晨说。

  如何应用数学思维

  数学思维的应用,可谓灵活多变,魔术一般,神奇非凡。其应用更多体现在如何用数学的方式来思考和解决问题。

  例如,周川目前主要从事的图数据建模和算法研究是当下竞争最激烈的研究方向之一。该研究方向的一个基本思路,是将数据以图的形式组织、建模和分析。记者了解到,这样的思维方式,最早可追溯到著名的哥尼斯堡七桥问题:在18世纪欧洲东普鲁士哥尼斯堡的城市近郊,普雷盖尔河穿城而过。河中有两个岛,两岸和两岛之间架有7座桥。当时城中居民热烈地讨论着这样一个问题:一个散步者从一个地方出发,怎样走才能一次性、不重复地走遍所有7座桥,最终还能回到原始出发点?

  “这个问题初看起来好像不太难,很多人都想试一试,但结果谁也找不出答案。当时,大数学家欧拉从众人的失败中想到,这样的走法可能根本不存在。欧拉是如何建模分析这个问题的呢?”周川解释说,事实上,欧拉用到的建模工具就是“图”。在这个图里,有4个节点和7条边,节点代表两岸与两岛,边则代表桥。欧拉把七桥问题转化成图上特殊路径的寻找问题。随后,他通过数学方法,严格证明了这样的特殊路径不存在,为七桥问题画上了圆满句号。

  欧拉思考问题的方式,是极具代表性的思维范式,直至今日仍有很强指导意义。由于数据实体间往往存在复杂关联,从图的角度对数据组织建模,通常会得到更高的分析和挖掘精度。“比方,在网页重要性排序问题中,通常将网页看作图中节点,超链接看作图中连边,用数学中的马氏过程来刻画用户在互联网上的网页浏览行为。在这种数学模型框架下,网页重要性排序问题就转化为对应马氏过程平稳分布的求解问题。这种转换,为网页重要性排序问题提供了新思考方式和更有效的解决方案。”周川说。

  “当你真正体验到应用数学思维解决实际问题的妙处,会顿觉‘数学为自然科学之源’的论述着实精辟。”张建说。

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