1.选择题

（1）设、为两个非空实数集合，定义集合，则中元素的个数是

    A．9              B．8              C．7              D．6

本小题主要考查集合概念的理解，以及对知识的迁移能力，对基本知识的掌握要准确、牢固.

解答：B

（2）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是

  A．②、③都不能为系统抽样  B．②、④都不能为分层抽样

  C．①、④都可能为系统抽样  D．①、③都可能为分层抽样

本小题主要考查同集中的抽样方法的有关知识，新课程把这部分只是放到了必修内容里，也就是说对于现代公民应必备的知识，该题既贴近生活，又体现了课程的时代性.

简单随机抽样的特点：（1）要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中每个个体被抽取的概率进行分析.（2）这种抽样是从总体中逐个进行抽取，这就使得它具有可操作性.（3）这是一种不放回抽样.由于在所抽取的实践中常常采用不放回抽样，是简单随机抽样具有较广泛的实用性，而且由于在所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，所以便于进行分析与计算.（4）是一种等概率的抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，每个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.

当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本能更充分反映总体的情况，就将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽取，这样的抽样就叫分层抽样，而其中所分成的各部分叫做层.分层抽样与简单随机抽样的共同特点是，他们都是等概率抽样，保证了抽样的公平性.

寻求新的知识交汇点，将基本知识的考查和思维能力的考查结合起来，创设出新颖的题目表述形式，着重考查考生的理解、分析和判断能力，体现了“以能力立意”的命题要求，涉及多个知识点，实现了知识的有机结合.

解题思路：根据三种抽样方法的特征，对所给出的4组样本进行判断，如果是分层抽样，则各号段应占的比例为：4，3，3；如果是系统抽样，则抽取的样本号码应该构成公差为27的等差数列.

解答：D

（3）已知向量，向量,则的最大值是

A．         B．4            C．12             D．1

本小题主要考查向量与三角结合的基本运算，考察运算能力。试题给出两个向量的坐标，要求考生会利用向量的坐标运算、三角函数的恒等变换，用多种方法确定向量的模的最大值.考察的重点是学生对向量的概念、向量的运算、向量的模的性质的理解与应用，方法较多，考查较灵活.

解法1：∵,，

解法2： ∵

        ∴

        ∴，

∴.

4.在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是

A．0                B．1                C．2                D．3

本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凹凸性，对试题中的不等关系式：，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.

解答：B

2.填空题

（1）已知实数满足等式，写出满足条件的一个关系式       .(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)

本小题主要考查指数式、指对互化以及分类讨论数学思想方法.此题是一个开放性问题，该类问题有助于考察学生的发散思维和创造意识.

解答：①②③,等.

（2）求满足的最大整数解的程序框图A处应为      .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

本小题主要考查程序框图的知识和分析问题、解决问题的逻辑思维能力，试题给出了满足题目条件的框图，在给定框图结构的前提条件下，要求考生会读框图、理解框图，并根据流程，写出最后输出框中的内容.考查的重点是学生对程序框图的认识，利用框图流程，不难写出最后的输出结果.该题所涉及内容为新课程新增内容，体现了数学课程与时俱进，反映了计算机科学发展对数学课程的影响，关注此类问题既考察学生对算法思想的了解和掌握，同时还有助于培养学生学习科学技术的兴趣.

解答：

（3）已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆和的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为         .                                                

本小题主要考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和归纳推广的能力.

解答：

（4）已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

①若则;

②若则;

③若，则;

④是两条异面直线，若，则.

上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力.

解答：③④

3.解答题

（1）已知函数，证明：

①经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行与轴；②这个函数的图象关于直线成轴对称图形.

本小题主要考查函数图象的性质、平行直线和对称图形以及推理论证能力.

证明：①设是函数图象上任意不同的两个点，则，且

.

即，所以直线不平行于轴.

②设是函数图象上的任意一个点,则,

且.    …………（＊）

所以,,否则有,得,这是不可能的.因此;由（＊）式得:

此式表示:点关于直线的对称点在函数图象上,由于的任意性,知函数的图象关于直线成轴对称图形.

（2）有一批影碟机（VCD）原价为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依次类推,每多一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?

本小题是实际问题，考查的目标是要求考生应用数学知识作出分析，给出合理的判断，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力，本题的实际背景是商品销售问题，对考生比较公平，与生活相关性也比较高.本题考查的知识点是分段函数和不等式.

解:设某单位需要购买台影碟机,甲乙两商场的购货款的差价为,

则因为去甲商场购买共花费,据题意,

去乙商场购买共花费,.

得

故若买少于10台,去乙商场购买花费较少; 若买10台,去甲、乙商场购买花费一样；若买超过10台,去甲商场购买花费较少.

（3）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％.如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

（粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数）

本小题的背景是人口增长和耕地流失的控制问题，这是当前国情教育中的一个十分突出的问题.通过解决此类问题有助于增强学生的社会责任感和土地保护意识。该题考查的是数列知识，还把利用二项式定理进行近似计算的考查揉合其中，比较新颖.

解：设耕地平均每年至多减少公顷，现有人口人，粮食单产吨/公顷，依题意得：

得

所以

答：耕地平均每年至多减少4公顷.

（4）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，,点在上，且.

（I）证明平面；   

（II）求以为棱，与为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.

 

 

 

 

 

本小题主要考查了棱锥、直线与平面垂直的判定与性质，二面角及二面角的平面角、直线与平面平行的判定和性质，同时考查了利用空间向量解决立体几何问题的转换能力、一定的计算能力以及逻辑推理能力.

 第3问在设问上有一定开放性，这对空间观念的要求，对空间图形转换要求，在水平层次上就有较大的提高，切入点是从特殊点开始进行探究.

此题可用空间向量法解决，关键是能合理的构建空间坐标系.

   总之，本题在解决方法上利用向量手段解决几何问题，很好地体现了数学的和谐美。同时，空间向量在立体几何中的应用为考生创造了几何证明的新思路，体现了解决问题策略的多样化。另外，本题通过开放性问题的设计，给学生留出了较大的思维空间，为学生灵活运用所学知识解决问题建立了一个平台.

证法一：综合法

（Ⅰ）证明  因为底面是菱形，

，

所以， 

在中，由   知.

同理，，所以平面.

（Ⅱ）解  作交于，

由平面.

知平面.作于，连结，

则，即为二面角的平面角.

又，所以

从而    

（Ⅲ）当是棱的中点时，平面，证明如下，

 取的中点，连结，则.  ①

由   知是的中点.

连结、，设，

则为的中点.所以  . ②

由①、②知，平面平面.

又  平面，所以平面.

证法二：向量法

（I）  以为坐标原点，直线、分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

则

所以 又于，故平面

（II）设平面的发向量为

由得又平面的法向量为

则

（III）解法一

因为

设点是棱上的点，则

       令   得

解得      即 时，

亦即，是的中点时，、、共面.

又  平面，所以当是棱的中点时，平面.

解法二 

因为 

         

所以  、、共面.

又 平面，从而平面.

（5）已知椭圆的方程为，

（Ⅰ）求椭圆上满足的的点的轨迹方程；

（II）若过曲线内一点作弦，当弦被点平分时，求直线的方程；

（III）双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.，若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点）. 求的取值范围.

本小题涉及直线、圆、椭圆、双曲线、求点的轨迹方程、求方程、求参数的范围等多个知识点，能较全面地考察解析几何的基础知识，知识点的考察面宽，对数学综合能力要求高，可使之成为有较好区分度的试题。

    在知识的交汇点处设计试题，将解析几何的各知识点与向量有机地融合在一起，在考查知识的同时，可以较好地考查考生对解析几何基本思想的理解和通性通法的掌握，以及运算能力和运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

解题思路:第I问可从平面向量数量积的坐标运算入手或数形结合即可得出圆的方程，入手较易；第2问是考查两直线垂直的位置关系以及直线方程的求解方法，只要数形结合，便可由垂径定理得出垂直条件；第3问考察直线和圆锥曲线的位置关系，首先要用待定系数法求出双曲线方程，解题时只要能熟练掌握有关圆锥曲线的基本知识要能将“几何元件”熟练地破译成坐标或代数式的形式，合理运用方程、不等式的知识为工具。

解：（I）设点的坐标为,由椭圆的方程可知

则的坐标分别为（-，）、（，）

由得所求轨迹方程为

（II）当弦被点平分时，,直线的斜率为-1，

所以直线的斜率为1，由点斜式可得直线的方程为,

即

（III）设双曲线的方程为，则

再由得.

故的方程为

将

由直线与双曲线交于不同的两点得

即  ①  设，则

而

于是

    ②

由①、②得  

故的取值范围为